エルミート行列とユニタリ行列

対称行列と直行行列

行列Aが正方行列で要素が全て実数で次の式が成り立つ時
Aは対称行列

A^\mathsf{T}=A

こっちは直行行列

A^\mathsf{T}A=I

とそれぞれ呼ばれます。

エルミート行列とユニタリ行列

これらを複素数に拡張したのが、エルミート行列とユニタリ行列です。行列にダガー(†)がつくと、転置を行って複素共役をとることを意味します。

これがエルミート行列

A^\dag=A

これがユニタリ行列

A^{\dag}A = I 

エルミート行列の固有値は実数

latexを途中まで書いていたのですが力尽きたのでわかりやすい記事を引用いたします。
https://seetheworld1992.hatenablog.com/entry/2017/03/14/212058

この記事のようにエルミート行列の固有値は実数であることがわかります。
初めてこの証明を見た時、物理量を測定したら絶対実数になることと一致してて、上手くできてるなーと感動したのを覚えてます。

重要な性質

  1. エルミート行列はユニタリ行列で対角化できる。
  2. ユニタリ行列の行と列は正規直交基底をなす。

エルミート行列を指数化した行列はユニタリ行列

エルミート行列Aを指数化した行列をUとする。

U := e^{iA}

Aはあるユニタリ行列を使って対角化できるので

A = V \Theta V^\dag

また、

U = 1 + (iA) + \frac{(iA)^2}{2!} +  ・・・\\ = \sum_{k}\frac{1}{k!}(iA)^k 
   \\= \sum_{k}\frac{i^k}{k!}(V^\dag \Theta V)^k 

V はユニタリ行列なのでV V† = Iなので上の式は

U = \sum_{k}\frac{i^k}{k!}V^\dag \Theta^k V = V e^{i\Theta} V^\dag

ここでUの逆行列は

U^{-1} =  V e^{-i\Theta} V^\dag

また

U^\dag =  (V e^{i\Theta} V^\dag)^\dag = V e^{-i\Theta} V^\dag

よって

U^\dag =  U^{-1}

Uがユニタリ行列であることがわかります。

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